紧子集(紧算子)是如何与有序数列相关联的？
在实数线上，我们定义一个集合是紧的，当且仅当对于每个开覆盖，都存在有限的开覆盖。
更形式化地说，设X是一个实数集合，X的一个开覆盖是指一族包含X中的元素的开集，即
X??_α∈JA_α
其中J是某个指标集。如果存在这样的一个子集I?J，使得
X??_α∈IA_α,
那么就称{A_α}_α∈J是X的一个有限开覆盖。
对于一个有限的集合，我们可以用这个定义来判断它是否是紧的。但是，对于无限集合，这个定义无法很好地使用。因此，我们引入了紧算子这个概念。
紧算子通常写作K，它是一个作用于拓扑空间上的算子。对于一个拓扑空间X，定义K(X)为X上所有紧子集的集合。不难证明，K(X)也是一个拓扑空间。
有序数列与紧算子的关系
我们知道，一个无穷序列可以看作是一个自然数到实数的映射，即
a: N→R,
a(n)表示序列的第n个元素。序列 {a_n} 是紧的，当且仅当它在实数轴上有一个极限点。
证明如下：
如果序列 {a_n} 在实数轴上有一个极限点x，那么我们可以构造一个开覆盖，它覆盖了序列中除了x以外的所有元素，具体地，
U_n={(k, l)∈R^2: |k-a_n| < 1/(n+1) and |l-x| < 1/(n+1)}
这个开覆盖并不能覆盖所有的元素，但是我们可以对它加上一个开集V，满足x∈V且V??_nU_n。这样就构造出了一个有限开覆盖，证明了紧性。
反之，如果序列 {a_n} 在实数轴上没有极限点，那么我们可以构造一个无限开覆盖，不可能存在一个有限开覆盖，因此不是紧的。
因此，我们可以看到有序数列和紧算子的紧性是相对应的。这样，我们就可以用紧算子的性质来研究有序数列的性质。
最后的总结
紧子集和紧算子作为拓扑学中的基本概念，在很多领域都有广泛的应用。而有序数列和紧算子的关系，使得我们可以用紧算子的性质来判定有序数列的性质。这进一步拓展了我们研究数列性质的方法和思路。